数学部落

重视显形和隐性双重教学目标的落实

——《青岛版小学数学》空间与图形领域编写特色介绍

教材编写组  郭子平执笔

数学课程标准指出，要使学生初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，获得分析和解决问题的一些基本方法。 孔企平先生在他所著的《小学数学课程与教学论》也指出，对学生的发展而言，解决问题活动的价值不只是获得具体的结论，或者主要价值不在与此。它的意义更多是使学生在解决多个问题的过程中获取一些具体的策略，并在此基础上形成解决问题的基本策略，掌握其思想方法。

山东版教材在空间与图形领域内容的安排上，着眼于学生的发展需要，根据课程标准的要求，巧妙地设计了一明一暗两条主线，这两条主线交相呼应，相得益彰，把相关内容有机地结合在了一起，将研究和解决问题的基本策略和方法进行了渗透，使学生在学习相关内容的同时，掌握了一些分析和解决问题的基本策略和方法。

教材中的所谓明线是指，以

“空间与图形”领域教学内容的逻辑关系为主线，根据学生的年龄特点有序地安排，整体上呈螺旋式上升，使学生对几何事实的认识有一个逐步深入的过程；教材中的所谓暗线是指，以研究问题、解决问题方法或数学思想方法为主线，贯穿于相应的单元，使学生在学习知识的同时，逐步掌握一些解决问题的基本策略和方法。

一、平面图形特征的研究，知识联系和方法联系并重。

研究图形的特征，教材中的明线是以相关内容以及他们之间的关系为主线，同时考虑到学生的生活经验和年龄特点，依次安排了长方形和正方形特征的研究、三角形特征的研究、平行四边形特征的研究、梯形特征的研究。暗线是以研究图形特征的方法，即从边和角两个方面来研究为主线，把相关的几个单元的内容从方法上有机地串联在一起，并且随着学生学习的深入和学生研究问题能力的提高，教材留给学生的空间也逐步地加大，旨在使学生在经历知识学习的过程中，同时也掌握研究图形特征这一类问题的基本方法。

在研究长方形和正方形的特征时（二年级下册，“做鸟巢——图形与拼组”，见图1），教材呈现的是学生在分组研究的场面，通过学生对话：“我用三角板量一量四个角”、“我用直尺量一量四条边”来渗透研究图形特征时，可以从边和角两个方面去研究；研究三角形的特征时（四年级下册，“繁忙的工地——角与三角形的认识”，见图2），教材以文字描述的方式作了提示：可以从边和角两个方面来研究，目的是引导教师在进行这一知识的教学时，考虑到学生已经有了研究长方形和正方形的特征的经验，教师应在学生对已学知识和方法回顾的基础上，将学生的感性认识上升到理性认识，对学生研究问题的方向进行明确地引领，提高学生研究问题的有效性；研究平行四边形的特征时（五年级上册，“水产养殖场——多边形的面积”，见图3）,教材呈现的是学生面对问题，直接提出“可以从边和角两个方面研究”，这样设计旨在提示教师，教学时要启发学生根据已有的经验，通过个人思考和合作交流等方式明确研究问题的方法，检验学生对图形特征研究方法的掌握情况，同时培养学生遇到问题，先思考解决问题的策略与方法再实施研究的意识和习惯；研究梯形的特征时（五年级上册，“水产养殖场——多边形的面积”，见图4），由于学生通过教材的渗透——教师的引领——学生自己的反思，已基本掌握了研究解决这类问题的基本方法，教材中没有提示性的语言，而是直接出示了几个学生从两个方面研究的场面，设计目的是提示教师在教学梯形的特征时，可以采取先尝试后交流的教学方式，给足学生自主探究的时间和空间，在此基础上再进行引领或提升。              

图1：

图2：

图3：

二、图形的面积和体积的研究，既重知识的联系，更重转化思想方法的渗透。

    对于平行四边形、三角形、梯形的面积计算等内容的编排，一方面，根据这些知识的特点和学生的年龄特征，有机地分散在各个年级中，设计了一条知识系统的明线，另一方面，通过转化思想这一暗线将这几个单元有机地联系在一起，使学生在学习知识的同时，受到了数学思想方法的熏陶，掌握了一种重要的解决问题的策略。

    在研究平行四边形的面积时（五年级上册“水产养殖场——多边形的面积“，见图5），教材呈现的是三个学生的探索过程，其中一个说：“我会计算长方形的面积，能不能把平行四边形转化成长方形来求它的面积呢？”，然后，出现了一个教师的头像说：“我们来验证一下吧”。由于教材在空间与图形领域是第一次出现转化的方法，所以教材这样设计，就是提示教师在教学时应作适当的引领；在研究三角形的面积时（五年级上册“水产养殖场——多边形的面积”见图6），由于学生已经接触过转化的思想，所以教材首先呈现的是一个学生的思考：“平行四边形可以转化成学过的图形求面积，三角形能不能转化成……”,然后出现了四个同学围在一起将三角形转化成平行四边形的情景，这样设计旨在提示教师教学时，应作适当的启发，唤醒学生已有的认知经验，引导产生猜想，然后放手让学生通过独立思考、合作探索进行验证；在研究梯形的面积计算时（五年级上册，“水产养殖场——多边形的面积“，见图4），由于学生通过平行四边形和三角形面积计算方法的探索，已经初步掌握了转化的思想方法，所以教材呈现时，直接出现了两个学生的对话：“怎样求梯形的面积呢？”“我们也把它转化成学过的图形来研究吧”，没有再出现提示引导学生回忆原来的方法的语言，同时在研究怎样把梯形转化成学过的图形时，教材也没有出现几个学生围在一起的情景，而是出现了两个学生分别用两种方法转化的情景，这样设计就是引导教师在教学时，要把这一部分的学习尽可能地放给学生，给足学生自主学习的时间和空间，培养学生的迁移类推能力。这样设计，使学生在经历平行四边形、三角形和梯形的面积计算的学习过程中，不但掌握了这些图形的面积计算方法，同时也潜移默化地掌握了转化这一解决问题的重要方法。

图4：

图5：                                        

图6：

 教材还通过转化思想这一暗线将平面图形和立体图形的研究方法自然地联系在一起，使整个空间与图形的知识通过转化思想浑为一体，使学生对空间与图形的有关知识有了一个整体的把握，同时加深了学生对转化思想的认识。如，圆柱体积的计算方法的推导（六年级下册“冰淇淋盒有多大——圆柱和圆锥“，见图7），教材是这样呈现的：

图7：

教材首先呈现了学生根据圆的面积公式的推导方法，猜想圆柱的体积的推导方法的情景，目的是引导教师在设计教学过程时，首先要注意唤起学生原有的知识和经验，引导他们进行大胆的猜想，然后进行验证，使学生通过经历这一过程，一方面获取圆柱体积的计算方法，另一方面合情推理能力得到培养。

    三、以引导学生经历数学化过程为暗线，培养学生建立数学模型的意识和能力。

教材在设计圆的周长、圆的面积、圆柱的表面积、以及长方体、圆柱的体积等内容时，不但重视了根据知识系统这一明线合理安排内容，更重视借助这些内容，引导学生经历数学化过程，渗透“现实问题——数学问题——联想、猜测、实验——归纳总结——拓展应用”的基本学习过程，使学生在学习知识的同时，潜移默化地掌握这种解决问题的策略，提升了学生的数学素养。

如：教材在设计圆的周长这部分内容时（六年级上册 “完美的图形——圆”，见图8），是这样呈现的：

图8：

教材首先呈现了一个现实问题：“祭天台上层的周长是多少？”，进而引导学生把这一现实问题转化成了一个数学问题：“求它的周长就是求圆的周长”，然后引导学生从数学的角度进行了猜想——实验——验证，得出了圆的周长的计算公式，这一过程实际上是一个数学化的过程，同时也是一个建立数学模型的过程，最后应用圆的周长计算公式解决了开始提出的现实问题。学生经历推导圆的周长计算公式的过程，实际上也是经历了“现实问题——数学问题——联想、猜测、实验——归纳总结——拓展应用”的过程，而这一过程正是体现了一种重要的解决问题基本过程。这样，学生在这一过程中不但获取了圆的周长的计算方法，同时也获取了一种解决问题的策略。

又如教材在研究圆的面积时是这样呈现的（六年级上册 “完美的图形——圆”，见图9）:

图9：

教材首先也是呈现了一个现实问题：“神舟”五号飞船预先设定的降落范围有多大？进而引导学生：“求它的降落范围，也就是圆的面积”。这样就把现实问题转化成了数学问题，然后引导学生联想已有知识和方法寻求解决问题的思路，通过画一画、剪一剪和拼一拼等实验过程从数学的角度去研究，最终得到了圆的面积公式。像圆的周长计算公式的推导一样，学生从解决现实问题出发，先转化为数学问题研究，再得到数学结论，这一过程也是一个数学化、建立数学模型的过程。这样，教材在引导学生推导圆的面积公式的过程中，使学生又一次不知不觉地经历了一个“现实问题——数学问题——联想、猜测、实验——归纳总结——拓展应用”的过程。正是教材的这一巧妙的设计，使学生在获取圆的周长和面积的计算公式的同时，逐渐地掌握了一种解决问题的基本策略，解决问题的能力得到了培养。

教材除了重视在学习各个知识点时反复进行渗透，还在“回顾整理”中对这些基本策略进行总结和提升（见“落实课程标准理念创新教材编写思路－—山东版《义务教育课程标准实验教科书  数学》特色介绍”一文）。

山东版教材在编写空间与图形领域的内容时，通过一明一暗两条线，不仅完成了基本知识和基本技能的教学，而且使学生在获取知识的同时，获得一些解决问题的基本策略和方法，使教学的显性目标和隐性目标同时得到落实。