数学部落

《3的倍数的特征》教学实录

执教：威海市实验小学             于丽平

评析：环翠区教育教学研究中心     丛丽莉

一、温故知新，直接导入

师：前面我们学过了2、5倍数的特征，回忆一下它的具体内容是什么？

生：2的倍数的个位数是0、2、4、6、8；5的倍数个位上是0、5。

师：那么3的倍数有什么特征呢？是不是还看个位数呢？这就是这节课我们要研究的内容。

教师板书课题：3的倍数的特征，学生齐读课题。

二、小棒游戏，探究规律

1、师生小游戏

师：首先我们来做一个摆小棒的游戏，怎么玩呢？找一个同学在这张数位表上随意用小棒摆出一个数，我能马上猜出它是不是3的倍数。信不信？

师：你来！

师：为了验证我猜得对不对，再请一个同学到前面的展台上用计算器来算一算，跟我比比速度。

学生摆出：51

师：51是3的倍数。我算的比计算器快吧？

师：能摆一个三位数吗？

学生摆出：312

师：312是3的倍数。

师：再来一个难点的。

学生摆出：1123

师：1123不是3的倍数。

师：想知道老师为什么判断的这么快吗？相信通过下面的操作你能发现其中的秘诀。

【评析：改变了以往先让学生猜测3的倍数的特征入手的形式，变为直接就用操作小棒引入，让学生一开始就抛开2、5倍数的特征的负迁移的影响。在课之始创设了学生“摆”老师“猜”这一互动环节。学生用几根小棒在数位表中摆数，无论学生摆的是几位数，老师都能迅速判断出这个数是否是3的倍数。速度远远超过计算器。“老师为什么判断的这么快呢？”学生被彻底征服且急于想知道答案，吊足学生的胃口。】

2、小组合作探究

（1）师：我们一起来看探究要求：用相应根数的小棒在数位表上各摆出3个数。

小组内合理分工，请大家静静的看一下合作要求——            

①男同学操作前两行，女同学操作后两行，记录员将摆出的数记录在表格中。

②用计算器算一算，将3的倍数圈出来。

③仔细观察表格，从中你发现了什么？

师：明白要求后，小组合作完成。

（2）集体交流：

师：哪个小组来交流你们的研究成果？再找个小助手。

第一小组：

师：问问大家你们摆的数没有问题吧！

师：给大家读读，你们圈出了哪些数？你们发现了什么？

生：我们发现了3根、6根小棒摆出来的数都是3的倍数。

师评价：关键要看小棒的根数，了不起的发现。

师：其他小组还有补充吗？

第二小组：

师：来，介绍一下你们的发现。

生：只要小棒的根数是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：你们认为除了3根、6根，还有其它情况是吗？具体解释一下。

生： 9根、12根、15根……都行——

师：真是这么回事吗？以9根为例摆摆看。

学生活动。

师：来，说说你们小组摆出了哪个数，它是不是3的倍数？

生：我用9根小棒摆出了36，36是3的倍数。

师：哪个小组还想出三位数、四位数或是更大的数？

生：我用9根小棒摆出了216，216是3的倍数。

生：我用9根小棒摆出了3015，3015是3的倍数。

师：说得完吗？

生：说不完。

师：大家用九根小棒摆出来的数都是3的倍数吗？那你认为他们小组的结论合理吗？

生：很合理。

师：大家说着，我把它记录下来（板书）：只要小棒的根数是3的倍数，摆出来的数就是3的倍数。

【评析：通过用“小棒摆数活动” 让研究对象直观化，降低了学生观察发现特征的难度，使得所学新知更贴近学生的“最近发展区”。学生借助小棒这个脚手架，在好奇心的驱使下很轻易的就会发现“只要所用小棒的根数是3的倍数，摆出来的这个数就是3的倍数”。】

师：由摆数所用小棒的根数我们就能快速判断出一个数是不是3的倍数。如果把摆小棒换成拨珠子呢？

二、拨珠子，进一步探究

师：（出示计数器）你认识它吗？仔细看，我拨出一个什么数，用了几颗珠子？

板书：345——3+4+5——十二  

师：算一算345是3的倍数吗？

师：在你的脑子里想象一个计数器，随意拨出一个数，并想一想：

（1）各个数位上是几颗珠子，一共拨了几颗珠子？

（2）这个数是多少，算一算它是3的倍数吗？

师：和你的同桌交流一下。

师：谁来说说你是怎么拨的？

根据学生的回答，教师操作点课件。

生：个位上有3珠子，十位上有6珠子，百位上有3珠子，一共用了12颗珠子，363是3的的倍数。

生：个位上有5珠子，十位上有5珠子，百位上有0珠子，千位上有5颗珠子，一共用了15颗珠子，5055是3的的倍数。

生：个位上是2颗珠子，十位上有5颗珠子，百位上有1颗珠子，千位上有2颗珠子，一共用了10颗珠子，2152不是3的倍数。

教师根据学生的回答板书，师：用12颗珠子拨出了363，是3的倍数，用15颗珠子拨出了5055也是3的倍数。想一想：用几颗珠子拨出的数是3的倍数？

生1：珠子的颗数是3的倍数，这个数就是3的倍数。

生2：只要各个数位上珠子颗数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：我们的研究又有了新的进展，也记录下来。（板书：各个数位上珠子颗数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。）

【评析：在摆小棒的基础上，引导学生用计数器想像一个数，借助学生对计数器熟练运用的经验，使得学生的思维更加聚焦于对数的特征的研究。虽然每个同学只操作了一次，但是通过学生之间的合作交流，再加上教师的引导，学生们经历了一个典型的通过不完全归纳的方法得出规律的过程。学生再次发现：只要各个数位上珠子颗数的和是3的倍数，这个数也是3的倍数。】

三、总结提升

师：通过摆小棒，拨珠子都能判断出一个数是不是3的倍数，现在不摆了，也不拨了，通过上面的两次操作，能不能说说什么样的数是3的倍数？

师：小组内交流一下。

小组活动。

师：谁来说说？

生1：各个数位上的数加起来是3的倍数，这个数就是3的倍数。

生2：各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

生3：只要各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：无论是小棒的根数还是各个数位上珠子的颗数，实际上也就是各个数位上数的和。只要各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【评析：通过操作学生发现“摆数所用小棒的根数”“珠子的颗数”是3的倍数是，这个数就是3的倍数。那如果不拨珠子也不摆小棒了，通过两次的操作，思考：“3的倍数有什么特征”？这样在大量的操作体验的基础上，引领学生把先前发现的“小棒根数”“珠子颗数”的特征转变为数本身的特征，使得“各个数位上数的和”这种稍复杂的表述方式，由学生在操作的基础上逐步抽象出3的倍数的特征。至此，学生通过不完全归纳初步得到“3的倍数的特征”这一结论】

师：这个结论对所有的数都适用吗？每人随意写下一个数，同桌俩共同验证这个结论是否正确。

师：验证之后这个结论没问题吧？

生：没问题。

师：看来这个结论是正确的。

【评析：某一结论是否可靠取决于所研究的对象的代表性，研究的对象覆盖面越广，代表性越强，结论的可靠性就越高。此处设计了“任意找”环节，鼓励学生大量举例验证，进一步验证这一结论的可靠性。既使学生深切体验了不完全归纳法的这一要义，也培养了学生缜密思考问题的意识和习惯，渗透了从特殊到一般的数学思想方法。】

教师小结：同学们真了不起，这么短的时间就得出了3的倍数的特征，2、5倍数的特征是看个位数，而判断3的倍数只看个位数行吗？要看各个数位上数的和。

师：来，我们一起把这一伟大的发现读一遍——这就是3的倍数的特征。把咱们的发现再说给同桌听一听。

师：现在知道了课前老师为什么判断的比计算器都快了吧！你能用这个特征来判断下面哪些数是3的倍数吗？

四、运用结论，巩固训练

练习一：

师：我们打手势来判断是√还是不是×。

87   32    231   121    1924     

生1：87是3的倍数，因为8+7=15,15是3的倍数，所以87就是3的倍数。

师：这位同学用上了“因为……所以……”让我们的表达更有条理性。

生2：因为3+2=5, 5不是3的倍数，所以32就不是3的倍数。

生3：2+3+1=6，6是3的倍数，所以231就是3的倍数。

生4：121不是3的倍数，因为1+2+1=4，4不是3的倍数。

生5：1+9+2+4=16，16不是3的倍数，所以1924不是3的倍数。

练习二：

师：□2，这是一个两位数，十位被遮盖住了，如果它是3的倍数，猜一猜，这个数可能是几？为什么？

生1：1。

师：可以吗？还有其他答案吗？

生2：1，4，7都可以。

师：理由呢？

生2：1+2=3，4+2=6，7+2=9，3，6，9都是3的倍数，所以填1、4、7都可以。

师：恭喜你，三种可能都被你们猜中了！

师：如果它既是2的倍数，又是3的倍数呢？

生：24。

师：为什么只有24可以呢？

生：因为只有24既是2的倍数，又是3的倍数。

练习三：

下面是“趣味行走”比赛报名统计表。

项目

报名人数

35

45

50

哪个项目的报名人数分组后，没有剩余？

生1：45和50这两组都没有剩余，因为45是3的倍数，50是5的倍数。

生2：因为35不是2的倍数，所以只有这组有剩余，其他两组都没有剩余。

师：同学们真棒！把生活问题转化成了一个数学问题，从而成功解决。求每组有没有剩余，也就是判断它们是不是2、3、5的倍数。

五、全课小结，课后延伸

师：学习数学要有问题意识，大家有没有想一想，为什么各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数呢？

1、12

师：以12为例，为什么1+2是3的倍数，12就是3的倍数。

课件显示：      1  2          1+2

师：十位上的1表示一个十，（1+2）这个1表示的是一个？

生：表示的是一个1。

师：这个1是怎么来的呢？（点课件分小棒）咱把十位上的10根小棒，3根一组，分分看。谁发现了这个1是怎么来的？

学生发现：1是十位分剩下的一根小棒。

师：就像这个同学发现的那样，十位上，这9根是3的倍数，只要看余下的1根和个位的2根合起来是3的倍数，那么12就是3的倍数。

2、126

师：三位数、四位数也同样如此（课件出示）例如：126。

先看百位，由于我们采用的是十进制计数法，所以每10根，3个一组来分一分，分完后如果余下的根数满十，（闪动）继续分下去，最后余下1根。

百位上3根一组，余下10根，由于我们采用的是十进制计数法，为了简便起见，这10根满十了，接着分，最后余下1根。

再看十位，两个十，余下2根。

个位6根，不满十，为了简便就不分了。

只要看百位、十位、个位余下的这几根的和是3的倍数，这个数就肯定是3的倍数。

而余下的这几根恰好和数位上数字相同，所以只要为什么各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

3、录像：你知道吗？

为什么各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，数学家高斯这样解释：

          ab=a+b

             =10a+b

             =9a+a+b

如：27，27=20+7

           =10×2+7        1个10写成9+1,两个10写成两个9+2

因此=9×2+2+7

    因为9×2是3的倍数，只要2+7是3的倍数，27就一定是3的倍数。这种解释对小学生来说有点深奥，相信随着知识的增长，你一定会明白其中的道理。

【评析：由于小学的思维特点是以直观形象思维为主，通过两个层次的拓展，帮助学生理解3的倍数的特征。第一个层次：以12根小棒为例，通过直观的分小棒过程，让学生理解3的倍数的特征。第二个层次：“一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就能是3的倍数”？实际上这其中蕴含着“数论”中证明的道理。介绍数学家高斯在《算术研究》中的关于3的倍数特征的解释，让学生在直观的基础上进一步提升思维。此环节对于一般学生来说是一种了解，对于思维能力较强的学生来说是一种引领和提升。】

4、回顾梳理

师：快乐的40分钟马上就要结束了，回想一下这节课你有哪些收获？

生：我知道了3的倍数的特征。

教师追问：3的倍数特征是什么？

生：各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：老师也有一些收获想和大家交流一下，可以吗？

让我们静静的分享吧！课件显示：

师：探究是无止境的，比如说：1249是不是3的倍数，还有更简便的判断方法，11、9的倍数有什么特征，大家可以利用这节课的学习方法做进一步的探索。

【评析：在学生学习的过程中注意“学习方法”的指导，让学生感受到掌握方法才能举一反三，真正做到触类旁通。最后一个环节设计了让学生静静的回顾这节课的学习历程“动手操作——观察发现——举例验证——归纳总结”，使其在数学思想上做进一步的提升。】